Question

14．给出平面区域为图中四边形ABOC内部及其边界，目标函数为z=ax-y，若当且仅当x=1，y=1时，目标函数z取最小值，则实数a的取值范围是$-1＜a＜-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，z=ax-y表示直线在y轴上的截距的相反数，a表示直线的斜率，只需求出a取值在什么范围时，直线z=ax-y在y轴上的截距最优解在点A处即可．

解答 解：由可行域可知，直线AC的斜率=$\frac{1-0}{1-2}$=-1，
直线AB的斜率=$\frac{1-\frac{3}{2}}{1-0}$=-$\frac{1}{2}$，
当直线z=ax-y的斜率介于AC与AB之间时，
A（1，1）是该目标函数z=ax-y的唯一最优解，
所以-1＜a＜-$\frac{1}{2}$
故答案为：$-1＜a＜-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于中档题．解答的关键是根据所给区域得到关于直线斜率的不等关系，这是数学中的数形结合的思想方法．