Question

已知直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA₁，F为棱BB₁的中点，M为线段AC₁的中点。
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小。

Answer 1

（1）延长C₁F交CB的延长线于点N，连接AN。因为F是BB₁的中点，所以F为C₁N的中点，B为CN的中点。
又M是线段AC₁的中点，故MF∥AN。
又MF平面ABCD，AN平面ABCD。
∴MF∥平面ABCD。    
（2）易得BD⊥ACC₁A₁，又AC₁ACC₁A₁，
∴BD⊥AC₁，∴BD∥NA，∴AC₁⊥NA。
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C₁AC就是平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的平面角或补角。
在Rt△C₁AC中，，  
故∠C₁AC=30°
∴平面AFC₁与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°

略