Question

3．定义函数的“拐点”如下：设f′（x）是函数f（x）的导数，f′（x）是函数f（x）的导函数，若方程f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”，已知任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心：若f（x）=x³-9x²+20x-4，数列{a_n}为等差数列，a₅=3，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=（　　）

• A． 44
• B． 36
• C． 27
• D． 18

Answer 1

分析 由题意对已知函数求两次导数可得函数图象关于点（3，2）对称，即f（x）+f（6-x）=4，再结合等差数列的性质即可求出．

解答 解：∵f′（x）=3x²-18x+20，
∴f″（x）=6x-18，
令f″（x）=6x-18=0得x=3，
∵f（3）=3³-9×9+20×3-4=2，
∴拐点（3，2），
∴函数f（x）关于点（3，2）对称
∴f（x）+f（6-x）=4，
∵数列{a_n}为等差数列，a₅=3，
∴f（a₁）+f（a₉）=2f（a₅）=4，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₉）=4×4+2=18，
故选：D．

点评 本题是新定义题，考查了函数导函数的零点的求法，考查了函数的性质，解答的关键是寻找函数值所满足的规律，是中档题．