Question

16．设{a_n}为等比数列，下列命题正确的有①②④（写出所有正确命题的序号）
①设${b_n}={a_n}^2$，则 {b_n}为等比数列；
②若a_n＞0，设c_n=lna_n，则 {c_n}为等差数列；
③设{a_n}前n项和为S_n，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n成等比数列；
④设{a_n}前n项积为T_n，则${T_n}^2={（{{a_1}{a_n}}）^n}$．

Answer 1

分析 由等比数列的通项公式和求和公式，逐个选项验证即可．

解答 解：①设等比数列{a_n}的公比为q，${b_n}={a_n}^2$，
则$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{{a}_{n+1}}^{2}}{{{a}_{n}}^{2}}$=（$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$）²=q²，为常数
∴{b_n}是公比为q²的等比数列，正确；
②当a_n＞0，c_n=lna_n时，c_n+1-c_n
=lna_n+1-lna_n=ln$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lnq，为常数
∴{a_n}是公差为lnq的等差数列，正确；
③举反例a_n=（-1）ⁿ，则S₂=0，显然不能成等比数列，错误；
④设{a_n}前n项积为T_n，则T_n=a₁a₂a₃…a_n，
∴T_n²=（a₁a₂a₃…a_n）²=[$（{a}_{1}{a}_{n}）^{\frac{n}{2}}$]²=（a₁a_n）ⁿ，正确．
故答案为：①②④

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．