Question

6．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，曲线C的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}}\right.$（α是参数）．
（1）求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化方法求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
（2）利用参数方程，求曲线C上的点到直线l的最大距离．

解答 解：（1）由$ρsin（θ+\frac{π}{4}）=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$得：$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}⇒\frac{{\sqrt{2}}}{2}y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}x=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}⇒x+y-3=0$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{\frac{y}{{\sqrt{3}}}=sinα}\end{array}}\right.$平方相加得：${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）∵$d=\frac{{|{cosα+\sqrt{3}sinα-3}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{|{2sin（α+\frac{π}{6}）-3}|}}{{\sqrt{2}}}$，
∴${d_{max}}=\frac{5}{{\sqrt{2}}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标，参数方程与普通方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．