已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
Ⅰ.对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;Ⅱ.f(1)=1;Ⅲ.若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.则称f(x)为“友谊函数”,请解答下列各题:
(1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值;
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?并给出理由.
分析:(1)赋值可考虑取x1=x2=0,代入f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),可得f(0)≥f(0)+f(0),由已知f(0)≥0,可得f(0)=0
(2)要判断函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数,只要检验函数g(x)=2x-1在[0,1]上是否满足[I]g(x)≥0;[Ⅱ]g(1)=1;[III]x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,有g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2)
解答:解:(1)取x1=x2=0,代入f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2),
得f(0)≥f(0)+f(0),化简可得f(0)≤0
又由f(0)≥0,得f(0)=0
(2)显然g(x)=2x-1在[0,1]上满足[Ⅰ]g(x)≥0;[Ⅱ]g(1)=1.
若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则有
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x2-1)(2x1-1)≥0
故g(x)=2x-1满足条件[1]、[2]、[3],所以g(x)=2x-1为友谊函数.
点评:采用赋值法是解决抽象函数的性质应用的常用方法,而函数的新定义往往转化为一般函数性质的研究,本题结合指数函数的性质研究函数的函数的函数值域的应用,指数函数的单调性的应用.