Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD的中点．
（I）求证：EF⊥面BCD；
（II）求多面体ABCDE的体积；
（III）求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取BC中点G，连FG，AG．根据AE⊥面ABC，BD∥AE，可得BD⊥面ABC，从而BD⊥AG．进而可证AG⊥平面BCD．又可证四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，故EF⊥面BCD．
（II）设AB中点为H，则根据AE⊥面ABC，可得平面ABDE⊥平面ABC．所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．从而可求四棱锥C-ABDE的体积．
（III）过C作CK⊥DE于K，连接KH．由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角．进而可求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．

解答：解：（I）取BC中点G，连FG，AG．
因为AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．
又AG?面ABC，所以BD⊥AG．
又AC=AB，G是BC的中点，所以AG⊥BC，所以AG⊥平面BCD．
又因为F是CD的中点且BD=2，所以FG∥BD且FG=

1

2

BD=1，所以FG∥AE．
又AE=1，所以AE=FG，所以四边形AEFG是平行四边形，所以EF∥AG，所以EF⊥面BCD．
（II）设AB中点为H，则由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=

3

．
又BD∥AE，所以BD与AE共面．
又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．
所以CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C-ABDE的高．
故四棱锥C-ABDE的体积为V_C-ABDE=

1

3

S_ABDE•CH=

1

3

[

1

2

（1+2）×2×

3

]=

3

．
（III）过C作CK⊥DE于K，连接KH．
由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，所以∠HKC为二面角C-DE-B的平面角．
易知EC=

5

，DE=

5

，CD=2

2

．
由S_△DCE=

1

2

×2

2

×

3

=

1

2

×

5

CK，可得CK=

2 30

5

．
在Rt△CHK中，sin∠HKC=

CH

CK

=

10

4

，所以cos∠HKC=

6

4

，
所以面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为

6

4

．

点评：本题以多面体为载体，考查线面垂直，考查几何体的体积，考查面面角，关键是正确作出面面角，是一道综合题．