Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴长为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆交于两点，是否存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，理由见解析．

【解析】

(1)由长轴长为4，可得求出，再结合及，即可求出，从而求出椭圆的方程；

(2) 设，，将直线的方程与椭圆的方程联立消去，利用根与系数的关系求出，，再由以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，可得，即，将，整体代入即可求出．

(1)因为椭圆的长轴长为4，所以，所以，

又，所以，所以，

所以椭圆的方程为．

(2)存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．

证明：设，，

由，得，

因为直线与椭圆交于两点，

所以，所以或，

所以，，

所以

因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点，所以，

所以，即，

所以，解得，

所以存在实数使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点．