Question

16．设函数f（x）=ae^x（x+1）（其中e为自然对数的底数），g（x）=x²+4x+b，已知它们在x=0处有相同的切线．
（1）求函数y=f（x）的增区间；
（2）求曲线y=g（x）和直线y=x+2所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=g（0），f’（0）=g’（0）得到关于实数a，b的方程组，求解方程组可得函数的解析式，然后利用导函数讨论的单调增区间即可．
（2）首先求得函数g（x）与函数y=x+2的交点坐标，然后利用定积分计算面积即可．

解答 解：（1）由题意可得：f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+4，
结合函数的解析式有：f（0）=a，g（0）=b，且f'（0）=2a，g'（0）=4，
函数在x=0处有相同的切线，故$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=g（0）}\\{f'（0）=g'（0）}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{2a=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，据此可得函数的解析式：f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．
求解不等式f'（x）=2e^x（x+2）＞0 可得函数y=f（x）的增区间是（-2，+∞）．
（2）由（1）的结论可知：g（x）=x²+4x+2，
求解方程：g（x）=x²+4x+2=x+2可得交点横坐标为：x₁=-3，x₂=0，
则曲线y=g（x）和直线y=x+2所围成的图形的面积为 $S={∫}_{-3}^{0}[（x+2）-（{x}^{2}+4x+2）]=\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的切线，定积分求解面积等，属于中等题．