Question

平面α、β、r两两垂直，点A∈α，A到β、r的距离都是1，P是α上的动点，P到β的距离是到点A距离的

2

倍，则P点轨迹上的点到r距离的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意知，P到两个面的交线的距离等于P到点A的距离的

2

倍，从而得到P的轨迹是以A为焦点的椭圆，离心率是

2

2

．当点P的轨迹上的点到γ的距离的最小时，点应该在短轴的端点处，由此能求出P点轨迹上的点到r距离的最小值．

解答： 解：由题意知，P到β的距离等于P到点A距离的

2

倍，
即P到两个面的交线的距离等于P到点A的距离的

2

倍，
∴P的轨迹是以A为焦点的椭圆，离心率是

2

2

当点P的轨迹上的点到r的距离的最小时，点应该在短轴的端点处，
∵

c

a

=

2

2

，

a2

c

-c=1
∴a=

2

，c=1，
∴b=1
∴点P的轨迹上的点到r的距离的最小值是0，
故答案为：0．

点评：本题考查点线面之间的距离的计算，考查点的轨迹问题，考查抛物线的几何性质，抛物线的离心率，a，b，c之间的关系，是一个综合题目．