Question

已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：4S_n=（a_n+1）²，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（Ⅱ）求数列{

1

anan+1

}的前n项和T_n；
（Ⅲ）证明：不等式 

58

36

-

1

n+1

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2对任意的n＞3，n∈N^*都成立．

Answer 1

分析：（1）由已知利用“n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出a_n，进而得到S_n．
（2）利用“裂项求和”即可得出；
（3）通过放缩，利用

1

n(n+1)

＜

1

n2

＜

1

(n-1)n

（n＞3）即可证明．

解答：解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，n∈N^*，∴4Sn-1=(an+1)2（n≥2），
∴4an=(an+1)2-(an-1+1)2，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵正项数列{a_n}，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
又n=1时，4a1=4S1=(a1+1)2＞0，
解得a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=2n-1．
∴Sn=

1

4

(an+1)2=n²．
（2）由（1）可得：

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

-

1

4n+2

．
（3）证明：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．
又

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞1+

1

4

+

1

9

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

=1+

1

4

+

1

9

+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

58

36

-

1

n+1

（n＞3）
∴不等式 

58

36

-

1

n+1

＜

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2对任意的n＞3，n∈N^*都成立．

点评：本题考查了利用“n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求a_n、“裂项求和”、利用

1

n(n+1)

＜

1

n2

＜

1

(n-1)n

（n＞3）放缩、等差数列的通项公式与前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．