Question

10．已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$，若n∈N^*时，a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$，a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．n=1时，可得a₁b₂-b₂=b₁，即$\frac{1}{2}{a}_{1}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a₁．可得a_n=2n+1．代入a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）c_n=a_nb_n=（2n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵数列{b_n}满足${b_1}=1，{b_2}=\frac{1}{2}$，a_nb_n+1-b_n+1=nb_n．∴n=1时，可得a₁b₂-b₂=b₁，
即$\frac{1}{2}{a}_{1}$-$\frac{1}{2}$=1，解得a₁=3．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∴[（2n+1）-1]b_n+1=nb_n，可得b_n+1=$\frac{1}{2}$b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为$\frac{1}{2}$．
∴b_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
（II）c_n=a_nb_n=（2n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴{c_n}的前n项和S_n=$3×1+5×\frac{1}{2}$+7×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（2n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$3×\frac{1}{2}+5×（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（2n-1）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+（2n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=3+$2（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-（2n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n}$=1+$2×\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n+1）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴T_n=10-$\frac{2n+5}{{2}^{n-1}}$

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．