Question

16．若等差数列{a_n}满足n（a₁+a_n）=2m，m（a₁+a_m）=2n，m＞n，则这个数列的前（m+n）项的和为-m-n．

Answer 1

分析 由已知得na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=m，ma₁+$\frac{m（m-1）}{2}d$=n，从而a₁+$\frac{1}{2}$（n+m-1）d=-1，由此能求出这个数列的前（m+n）项的和．

解答 解：∵等差数列{a_n}满足n（a₁+a_n）=2m，m（a₁+a_m）=2n，m＞n，
∴n[2a₁+（n-1）d]=2m，即na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=m，
m[2a₁+（m-1）d]=2n，即ma₁+$\frac{m（m-1）}{2}d$=n，
两式相减，得：
（n-m）a₁+$\frac{1}{2}$（n-m）（n+m+1）d=m-n，
a₁+$\frac{1}{2}$（n+m-1）d=-1
∴S_m+n=$\frac{1}{2}$（a₁+a_m+n）（m+n）
=$\frac{1}{2}$[2a₁+（n+m-1）]d•（m+n）
=-（m+n）
=-m-n．
故答案为：-m-n．

点评 本题考查等差数列的前m+n项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．