Question

6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是1，四个面的面积中最大的是$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据三视图画出三棱锥P-ABC的直观图，并做出辅助线，由三视图求出棱长、判断出线面位置关系，由椎体的体积公式求出该三棱锥体积；由勾股定理求出其它棱长，判断该三棱锥的四个面中最大的面，由三角形的面积公式求出答案．

解答 解：根据三视图画出三棱锥P-ABC的直观图如图所示：
过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD，
由三视图可知，PA⊥平面ABC，
且BD=AD=1，CD=PA=2，
①该三棱锥体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2$=1；
②BC=3，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同理可求AC=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{6}$，PC=3，
∴△PBC是该三棱锥的四个面中最大的面积，
∴△PBC的面积S=$\frac{1}{2}•BC•PD$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：1；$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查三视图求几何体的表面积以及体积，以及线面垂直的关系判断、应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．