Question

10．曲线f（x）=2alnx+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，则$\frac{8a+b}{ab}$的最小值是（　　）

• A． 10
• B． 9
• C． 8
• D． 3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即有2a+b=2，则$\frac{8a+b}{ab}$=$\frac{1}{2}$（2a+b）（$\frac{8}{b}$+$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2}$（8+2+$\frac{b}{a}$+$\frac{16a}{b}$），运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：f（x）=2alnx+bx（a＞0，b＞0）的导数为
f′（x）=$\frac{2a}{x}$+b，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为2a+b，
即有2a+b=2，
则$\frac{8a+b}{ab}$=$\frac{1}{2}$（2a+b）（$\frac{8}{b}$+$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2}$（8+2+$\frac{b}{a}$+$\frac{16a}{b}$）
≥$\frac{1}{2}$（10+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{16a}{b}}$）=$\frac{1}{2}$×（10+8）=9．
当且仅当b=4a=$\frac{4}{3}$时，取得最小值9．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，注意运用“1”的代换，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．