Question

20．已知圆x²+y²=9内有一点P（-1，2），AB为过点P的弦且倾斜角为θ．
（1）若θ=135°，求弦AB的长；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线AB的斜率为-1，得到直线AB的方程为x+y-1=0，联立直线方程与圆的方程，得x²-x-4=0，由此利用韦达定理、弦长公式，能求出AB的长．
（2）设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y-2=k（x+1），由P为AB的中点，得OP丄AB，由斜率公式，求出直线OP斜率为-2，从而-2k=-1，由此求出k=$\frac{1}{2}$，由此能求出直线AB的方程．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB为过点P的弦且倾斜角为θ=135°，
∴依题意：直线AB的斜率为-1，
∴直线AB的方程为x+y-1=0，
联立直线方程与圆的方程：$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，
得x²-x-4=0，
则x₁+x₂=-1，x₁x₂=-4，
由弦长公式得AB=$\sqrt{（1+1）[（-1）^{2}-4×（-4）]}$=$\sqrt{34}$．（6分）
（2）设直线AB的斜率为k．
则直线AB的方程为y-2=k（x+1）；
∵P为AB的中点，∴OP丄AB，
由斜率公式，得直线OP斜率为k_OP=$\frac{2}{-1}$=-2，
则-2k=-1，解得k=$\frac{1}{2}$
∴直线AB的方程为：x-2y+5=0．

点评 本题考查弦长的求法，考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、勾股定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．