Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．
（1）试将$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CB}$表示α的函数f（α），并写出其定义域；
（2）求函数f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据题意，用α表示出$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$，求出$\overrightarrow{CB}$，
利用数量积个数计算f（α）并化简，写出α的取值范围；
（2）根据α的取值范围即可求出函数f（α）的值域．

解答 解：（1）根据题意，|$\overrightarrow{OA}$|=1，∠AOC=α，
∴$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），
$\overrightarrow{OB}$=（cos（α+$\frac{π}{3}$），sin（α+$\frac{π}{3}$）），
$\overrightarrow{OC}$=（cosα，0）；
∴$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$=（cos（α+$\frac{π}{3}$）-cosα，sin（α+$\frac{π}{3}$）），
∴f（α）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{CB}$=cosα[cos（α+$\frac{π}{3}$）-cosα]+sinαsin（α+$\frac{π}{3}$）
=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-α]-cos²α
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1+cos2α}{2}$
=-$\frac{1}{2}$cos2α，其中α∈（0，$\frac{π}{6}$）；
（2）由（1）知，f（α）=-$\frac{1}{2}$cos2α，
α∈（0，$\frac{π}{6}$）时，2α∈（0，$\frac{π}{3}$），
cos2α∈（$\frac{1}{2}$，1），
∴-$\frac{1}{2}$cos2α∈（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$），
∴函数f（α）的值域为（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与数量积的计算问题，是中档题．