Question

4．已知函数f（x）=ax²+（2a+1）x+b，其中a，b∈R．
（Ⅰ）当a=1，b=-4时，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）如果函数f（x）的图象在直线y=x+2的上方，证明：b＞2；
（Ⅲ）当b=2时，解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解方程x²+3x-4=0，即可得到所求零点；
（Ⅱ）（方法1）由题意可得ax²+（2a+1）x+b＞x+2对x∈R恒成立．考虑x=0，可得结论；
（方法2）由题意可得ax²+2ax+b-2＞0对x∈R恒成立．讨论当a=0时，当a≠0时，得a＞0，且△=（2a）²-4a（b-2）＜0，即可得证；
（Ⅲ）由题意可得（ax+1）（x+2）＜0，对a讨论，当a＜0，a=0，当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，当$a=\frac{1}{2}$时，当$a＞\frac{1}{2}$时，运用二次不等式的解法，即可得到所求解集．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x²+3x-4=0，解得x=-4，或x=1．
所以函数f（x）有零点-4和1．
（Ⅱ）证明：（方法1）因为f（x）的图象在直线y=x+2的上方，
所以ax²+（2a+1）x+b＞x+2对x∈R恒成立．
即ax²+2ax+b-2＞0对x∈R恒成立．
所以当x=0时上式也成立，代入得b＞2．
（方法2）因为f（x）的图象在直线y=x+2的上方，
所以ax²+（2a+1）x+b＞x+2对x∈R恒成立．
即ax²+2ax+b-2＞0对x∈R恒成立．
当a=0时，显然b＞2．
当a≠0时，
由题意，得a＞0，且△=（2a）²-4a（b-2）＜0，
则4a（b-2）＞4a²＞0，
所以4a（b-2）＞0，即b＞2．
综上，b＞2．
（Ⅲ）由题意，得不等式ax²+（2a+1）x+2＜0，即（ax+1）（x+2）＜0．
当a=0时，不等式化简为x+2＜0，解得x＜-2；
当a≠0时，解方程（ax+1）（x+2）=0，得根x₁=-2，${x_2}=-\frac{1}{a}$．
所以，当a＜0时，不等式的解为：x＜-2，或$x＞-\frac{1}{a}$；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，不等式的解为：$-\frac{1}{a}＜x＜-2$；
当$a=\frac{1}{2}$时，不等式的解集为∅；
当$a＞\frac{1}{2}$时，不等式的解为：$-2＜x＜-\frac{1}{a}$．
综上，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜-2，或$x＞-\frac{1}{a}\}$；
当a=0时，不等式的解集为{x|x＜-2}；
当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，不等式的解集为$\{x|-\frac{1}{a}＜x＜-2\}$；
当$a=\frac{1}{2}$时，不等式的解集为∅；
当$a＞\frac{1}{2}$时，不等式的解集为$\{x|-2＜x＜-\frac{1}{a}\}$．

点评 本题考查函数的零点的求法，注意运用方程思想，考查二次不等式恒成立问题的解法，注意结合二次函数的图象和分类讨论思想方法，考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．