Question

19．一个袋中装有黑球，白球和红球共n（n∈N^*）个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$．现从袋中任意摸出2个球．
（Ⅰ） 用含n的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n的值．（直接写出n的值）
（Ⅱ） 若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是$\frac{4}{7}$，设X表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意有$\frac{2}{5}n$个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，利用排列组合知识求出P（A）=$\frac{4n-10}{25n-25}$，从而求出P（A）最小时n=5．
（Ⅱ）依题意有$\frac{2}{5}×15$=6个黑球，设袋中白球的个数为x个，记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，由对立事件概率计算公式求出袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）依题意有$\frac{2}{5}n$个黑球，记“摸出的2球都是黑球”为事件A，
则P（A）=$\frac{{C}_{\frac{2}{5}n}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2}{5}n（\frac{2}{5}n-1）}{n（n-1）}$=$\frac{4n-10}{25n-25}$
∴P（A）最小时n=5．
（Ⅱ）依题意有$\frac{2}{5}×15$=6个黑球，
设袋中白球的个数为x个，
记“从袋中任意摸出两个球到少得到一个白球”为事件B，
则P（B）=1-$\frac{{C}_{15-x}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{4}{7}$，整理，得：x²-29x+120=0，
解得x=5或x=24（舍），
∴袋中红球的个数为4个，机变量X的取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{11}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{11}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{44}{105}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{2}}=\frac{2}{35}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{11}{21}$	$\frac{44}{105}$	$\frac{2}{35}$

EX=$\frac{11}{21}×0+\frac{44}{105}×1+\frac{2}{35}×2=\frac{8}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．