Question

6．?x₁∈（1，2），?x₂∈（1，2）使得lnx₁=x₁+$\frac{1}{3}m{x_2}^3-m{x_2}$，则正实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{3-\frac{3}{2}ln2，+∞}）$
• B． $[{3-\frac{3}{2}ln2，+∞}）$
• C． [3-3ln2，+∞）
• D． （3-3ln2，+∞）

Answer 1

分析 由题意得到lnx₁-x₁=$\frac{1}{3}$m${{x}_{2}}^{3}$-mx₂，设h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域为A，
函数g（x）=$\frac{1}{3}$mx³-mx在（1，2）上的值域为B，根据函数的单调性求m的取值范围．

解答 解：由题意，得lnx₁-x₁=$\frac{1}{3}m{x_2}^3-m{x_2}$，
设h（x）=lnx-x在（1，2）上的值域为A，函数g（x）=$\frac{1}{3}$mx³-mx在（1，2）上的值域为B，
当x∈（1，2）时，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$＜0，函数h（x）在（1，2）上单调递减，
故h（x）∈（ln2-2，-1），∴A=（ln2-2，-1）；
又g'（x）=mx²-m=m（x+1）（x-1），
m＞0时，g（x）在（1，2）上单调递增，
此时g（x）的值域为B=（-$\frac{2m}{3}$，$\frac{2m}{3}$），
由题意A⊆B，且$\frac{2}{3}$m＞0＞-1，∴-$\frac{2m}{3}$≤ln2-2，
解得m≥-$\frac{3}{2}$（ln2-2）=3-$\frac{3}{2}$ln2；
∴正实数m的取值范围是[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．