Question

2．已知锐角三角形的两个内角A，B满足$tanA-\frac{1}{sin2A}=tanB$，则有（　　）

• A． sin2A-cosB=0
• B． sin2A+cosB=0
• C． sin2A+sinB=0
• D． sin2A-sinB=0

Answer 1

分析 运用切化弦和二倍角的正弦、余弦公式，结合两角差的余弦公式，再由诱导公式，化简可得2A-B=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，sin2A=cosB．

解答 解：锐角三角形的两个内角A，B满足$tanA-\frac{1}{sin2A}=tanB$，
可得$\frac{sinA}{cosA}$-$\frac{1}{2sinAcosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
即为$\frac{2si{n}^{2}A-1}{2sinAcosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
即有$\frac{-cos2A}{sin2A}$=$\frac{sinB}{cosB}$，
即有cos2AcosB+sin2AsinB=0，
即cos（2A-B）=0，
即有2A-B=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
由0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
可得-$\frac{π}{2}$＜2A-B＜π，
则k=0，可得2A=B+$\frac{π}{2}$，
sin2A=sin（B+$\frac{π}{2}$）=cosB，
即sin2A-cosB=0．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，主要是同角的商数关系、二倍角公式和两角差的余弦公式以及诱导公式的运用，考查化简能力和运算能力，属于中档题．