Question

【题目】在平面直角坐标系中，一个动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点作直线交曲线于，两点，问曲线上是否存在一个定点，使得点在以为直径的圆上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定点

【解析】

（1）根据抛物线定义，即可求得轨迹方程；

（2）设出直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，即可恒成立问题，即可求得点坐标.

（1）由题意，圆心到点的距离与到直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程是.

（2）因为过点的直线交曲线于，两点，

所以可设直线方程为，，，

由整理得，

，，，

假设存在定点满足题意，显然且，

则，即.

因为，，

所以，

即，

因为且，所以，

即，

所以，即，

上式要恒成立，所以，即定点.

综上所述，存在定点满足题意.