【题目】已知 函数
在区间
上有1个零点;
函数
图象与
轴交于不同的两点.若“
”是假命题,“
”是真命题,求实数
的取值范围.
【答案】解:对于 设
.
该二次函数图象开向上,对称轴为直线 ,
所以 ,所以
;
对于 函数
与
轴交于不同的两点,
所以 ,即
,
解得 或
.
因为“ ”是假命题,“
”是真命题,所以
一真一假.
①当 真
假时,有
,所以
;
②当 假
真时,有
,所以
或
.
所以实数 的取值范围是
.
【解析】对于命题p,二次函数的对称轴正好在区间的左端点处,则函数在区间中是增函数,要使函数有一个零点,则端点处函数值左负右正,求出a的范围;对于命题q,二次函数与x轴有两个交点,则判别式大于0,求出a的范围。由“ p ∧ q ”是假命题,“ p ∨ q ”是真命题,则p和q一真一假,分成p真q假和p假q真求出a的范围.
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【题目】椭圆 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径,平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段,称为该直径的共轭直径,已知椭圆的方程为
.
(1)若一条直径的斜率为 ,求该直径的共轭直径所在的直线方程;
(2)若椭圆的两条共轭直径为 和
,它们的斜率分别为
,证明:四边形
的面积为定值.
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【题目】已知函数.
(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象;
(2)指出的周期、振幅、初相、对称轴;
(3)说明此函数图象可由的图象经怎样的变换得到.
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【题目】有一块半径为的正常数)的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形的游泳池
和其附属设施,附属设施占地形状是等腰
,其中
为圆心,
在圆的直径上,
在半圆周上,如图.
(1)设,征地面积为
,求
的表达式,并写出定义域;
(2)当满足
取得最大值时,开发效果最佳,求出开发效果最佳的角
的值,
求出的最大值.
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【题目】已知函数f(x)= (e为自然对数的底).若函数g(x)=f(x)﹣kx恰好有两个零点,则实数k的取值范围是( )
A.(1,e)
B.(e,10]
C.(1,10]
D.(10,+∞)
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【题目】已知圆的圆心为
,直线
.
(1)求圆心的轨迹方程;
(2)若,求直线
被圆
所截得弦长的最大值;
(3)若直线是圆心
下方的切线,当
在
上变化时,求
的取值范围.
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