Question

【题目】椭圆 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为 .

（1）若一条直径的斜率为 ，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）若椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ，证明：四边形 的面积为定值.

Answer 1

【答案】
（1）解：设斜率为 的与直径平行的弦的端点坐标分别为 ， ，
该弦中点为 ，则有 ， ，
相减得： ，
由于 ， ，且 ，所以得： ，
故该直径的共轭直径所在的直线方程为
（2）解：椭圆的两条共轭直径为 和 ，它们的斜率分别为 ，
四边形 显然为平行四边形，设与 平行的弦的端点坐标分别为
则 ， ，而 ， ，
，故 ，
由 得 的坐标分别为 ，
故 ，同理 的坐标分别为 ，
设点 到直线 的距离为 ，四边形 的面积为 ,
所以， ，
则 ，为定值
【解析】（1）考查中点弦问题 ，利用点差法求出直线方程 。
（2）设出直线方程，求出弦长,再求出点 C 到直线 A B 的距离为 d，求四边形 A C B D 的面积为 S 。