Question

【题目】函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）对于任意 ，且 ，是否存在实数 ，使 恒成立，若存在求出 的范围，若不存在，说明理由；
（3）若正项数列 满足 ，且数列 的前 项和为 ，试判断 与 的大小，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解： ,
则 ，
所以 函数单调递减， 函数单调递增．
从而
（2）解：若 恒成立，
则 ，
设函数 ，又 ，
则只需函数 在 上为单调递减函数，
即 在 上恒成立，
则 ，
记 ，则 ，从而 在 上单调递减，在 单调递增，
故 ，
则存在 ，使得不等式恒成立
（3）解：由 ．
即 ，由 ，得 ，
因为 ，由（1）知 时， ，
故 ，
即
【解析】(1)首先求出函数的定义域以及导函数，根据导数符号即可求出原函数的单调性即可求出最大值。(2)根据题意结合函数的单调性和其导函数的关系，即可得到 φ ′ ( x ) ≤ 0 恒成立，分离出参数m后化为求函数最值即可并利用导数求得函数的最值。(3)整理数列的代数式求出数列 { an}的通项公式根据题意代入即可得到 a n> ln ( an + 1 )，进而得到Sn的表达式结合对数的性质由裂项相消法即可得出结果。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．