Question

函数f(x)=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx．
（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-

3

5

，求f（A）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题

分析：（Ⅰ）利用2倍角的余弦公式与平方差公式，把函数解析式化简为f（x）=cosx+sinx=

2

sin(x+

π

4

)，再利用A的范围求出sinA，可求f（A）；
（Ⅱ）根据函数解析式可得f（x）的最小正周期T=2π．令x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，求出x=kπ+

π

4

，k∈Z，即为对称轴方程．

解答： 解：（Ⅰ）由sinx+cosx≠0得x≠kπ-

π

4

，k∈Z．
f(x)=

cos2x

sinx+cosx

+2sinx=

cos2x-sin2x

sinx+cosx

+2sinx=cosx+sinx=

2

sin(x+

π

4

)，
因为在△ABC中，cosA=-

3

5

＜0，
所以

π

2

＜A＜π，
所以sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
所以f(A)=sinA+cosA=

4

5

-

3

5

=

1

5

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)=

2

sin(x+

π

4

)，
所以f（x）的最小正周期T=2π．
因为函数y=sinx的对称轴为x=kπ+

π

2

，k∈Z，
又由x+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，得x=kπ+

π

4

，k∈Z，
所以f（x）的对称轴的方程为x=kπ+

π

4

，k∈Z．

点评：本题考查了2倍角的余弦公式，两角和的正弦公式及平方差公式，考查了三角函数的最小正周期的求法及对称轴方程，解题的关键是对三角函数式的化简．