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    3．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=$\frac{a}{{x}^{2}+b}$（其中a，b为常数）模型．
    （1）求a，b的值；
    （2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
    ①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
    ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．

    分析 （1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=$\frac{a}{{x}^{2}+b}$，建立方程组，即可求a，b的值；
    （2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
    ②设g（t）=${t}^{2}+\frac{4×1{0}^{6}}{{t}^{4}}$，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．

    解答 解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），
    将其分别代入y=$\frac{a}{{x}^{2}+b}$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{25+b}=40}\\{\frac{a}{400+b}=2.5}\end{array}\right.$，
    解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1000}\\{b=0}\end{array}\right.$，
    （2）①由（1）y=$\frac{1000}{{x}^{2}}$（5≤x≤20），P（t，$\frac{1000}{{t}^{2}}$），
    ∴y′=-$\frac{2000}{{t}^{3}}$，
    ∴切线l的方程为y-$\frac{1000}{{t}^{2}}$=-$\frac{2000}{{t}^{3}}$（x-t）
    设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，则A（$\frac{3t}{2}$，0），B（0，$\frac{3000}{{t}^{2}}$），
    ∴f（t）=$\sqrt{（\frac{3t}{2}）^{2}+（\frac{3000}{{t}^{2}}）^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{{t}^{2}+\frac{4×1{0}^{6}}{{t}^{4}}}$，t∈[5，20]；
    ②设g（t）=${t}^{2}+\frac{4×1{0}^{6}}{{t}^{4}}$，则g′（t）=2t-$\frac{16×1{0}^{6}}{{t}^{5}}$=0，解得t=10$\sqrt{2}$，
    t∈（5，10$\sqrt{2}$）时，g′（t）＜0，g（t）是减函数；t∈（10$\sqrt{2}$，20）时，g′（t）＞0，g（t）是增函数，
    从而t=10$\sqrt{2}$时，函数g（t）有极小值也是最小值，
    ∴g（t）min=300，
    ∴f（t）min=15$\sqrt{3}$，
    答：t=10$\sqrt{2}$时，公路l的长度最短，最短长度为15$\sqrt{3}$千米．

    点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的综合运用，确定函数关系，正确求导是关键．

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