Question

【题目】已知函数（其中e是自然对数的底数，a，）在点处的切线方程是.

（1）求函数的单调区间.

（2）设函数，若在上恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.

【解析】

（1）求出.由题意求出，，即可求出，，代入，即可求出的单调区间；

（2）由（1）知.解法1：要使在上恒成立，只需即可，利用导数求；解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.令，则只需即可，利用导数求；解法3：要使在上恒成立，等价于在上恒成立. 先证明，可得当时，有，可得，即求实数m的取值范围.

（1）对函数求导得，

由条件可知，，解得，，

所以.

.令得，

于是，当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由（1）知.

解法1：要使在上恒成立，只需即可.

因为，，

所以在上单调递增.

因为当时，，当时，，

所以，在上存在唯一的零点，满足，

所以，

且在上单调递减，在上单调递增，

于是

由得，此时必有，，

两边同时取自然对数，则有，即.

构造函数（），则，

所以函数在上单调递增，又，所以，即.

故，于是实数m的取值范围是.

解法2：要使在上恒成立，等价于在上恒成立.

令（），则只需即可.

，令（），则，

所以在上单调递增，又，，

所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增.

因为，两边同时取自然对数，则有，

即.

构造函数（），则，

所以函数在上单调递增，又，

所以，即.

所以.

于是实数m的取值范围是

解法3：要使在上恒成立，

等价于在上恒成立.

先证明，令（），则，于是，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，故（当且仅当时取等号）

所以，当时，有，所以，即，当且仅当时取等号，于是实数m的取值范围是.