Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的内接等腰△ABC的顶点A的坐标为（0，b），其底边BC上的高在y轴上，若△ABC的面积不超过

3

2

b2，则椭圆离心率的取值范围为（　　）

• A、(0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，1)
• C、(0，

  3

  2

  ]
• D、[

  3

  2

  ，1)

Answer 1

分析：首先设点B（acosx，bsintx） C（-acosx，bsinx），进而求得底边、高、面积得出恒有（1-sinx）cosx≤

3b

2a

，再根据c²=a²-b²，就能得到答案．

解答：解：∵△ABC为等腰三角形．
∴可设点B（acosx，bsinx） C（-acosx，bsinx）．其中-

π

2

＜x＜

π

2

．
此时易知，该三角形底边BC=2acosx，高=b（1-sinx）
∴S=ab（1-sinx）cosx
由题设可得ab（1-sinx）cosx≤

3

2

b2
∴恒有（1-sinx）cosx≤

3b

2a

∴

3 3

4

≤

3b

2a

整理可得，

3

a≤2b
两边平方，3a²≤4b²=4（a²-c²）
∴4c²≤a²
∴

c

a

≤

1

2

．
故选A．

点评：本题考查了椭圆的简单性质，本题采用参数方法使问题变得简单化，属于中档题．