Question

18．多面体ABCDEF（如图甲）的俯视图如图乙，己知面ADE为正三角形．
（1）求多面体ABCDEF的体积；
（2）求二面角A-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）分别取AB、CD的中点M、N，连结EM，EN，MN，多面体体积转化为棱柱AED-MFN的体积V₁和四棱锥F-MBCN的体积V₂之和，由此能求出多面体ABCDEF的体积．
（2）取MN中点O，BC中点P，以OM为x轴，OP为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．

解答 解：（1）分别取AB、CD的中点M、N，
连结EM，EN，MN，
多面体体积转化为棱柱AED-MFN的体积V₁和四棱锥F-MBCN的体积V₂之和，
由三视图知AD=2，AM=DN=1，
又面ADE为正三角形，且垂直于底面ABCD，
∴F到底面距离为$\sqrt{3}$，
∴多面体ABCDEF的体积：
V=V₁+V₂=$\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）取MN中点O，BC中点P，
以OM为x轴，OP为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，
知A（1，-1，0），B（1，1，0），F（0，0，$\sqrt{3}$），
C（-1，1，0），
则$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AF}$=（-1，1，$\sqrt{3}$），
设平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=-x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
同理求得平面BFC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设二面角A-BF-C的平面角为θ，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{4}$．
∴二面角A-BF-C的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查多面体的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．