Question

8．椭圆上$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上一点p到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是（　　）

• A． $（{\frac{{5\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$或 $（{-\frac{{5\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{\frac{5}{2}，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}）$或$（{\frac{5}{2}，-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}）$
• C． （5，0）或（-5，0）
• D． （0，3）或（0，-3）

Answer 1

分析 根据椭圆的方程，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10，结合基本不等式可知：当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，点P到两焦点的距离之积为m有最大值25，并且此时点P位于椭圆短轴的顶点处，可得点P坐标为（0，3）或（0，-3）．

解答 解：∵椭圆方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，∴椭圆的a=5，b=3
设椭圆的左右焦点分别为F₁、F₂，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
∴点P到两焦点的距离之积m满足：m=|PF₁|×|PF₂|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）²=25
当且仅当|PF₁|=|PF₂|=5时，m有最大值25
此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，-3）
故选：D

点评 本题给出椭圆的方程，求其上一点到两个焦点距离之积的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．