Question

18．数列{a_n}的各项均为正数，a₁=t，k∈N^*，k≥1，p＞0，a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6•pⁿ．
（1）当k=1，p=5时，若数列{a_n}成等比数列，求t的值；
（2）设数列{a_n}是一个等比数列，求{a_n}的公比及t（用p、k的代数式表示）；
（3）当k=1，t=1时，设T_n=a₁+$\frac{{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$，参照教材上推导等比数列前n项和公式的推导方法，求证：{$\frac{1+p}{p}$•T_n-$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$-6n}是一个常数．

Answer 1

分析 （1）由a_n+a_n+1=6•5ⁿ，a_n+1+a_n+2=6•5ⁿ⁺¹，得到等比数列（a_n}的公比q=5，由此能求出t的值．
（2）a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ，a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_n+1+k=6pⁿ⁺¹，数列{a_n}是一个等比数列，所以求出公比为p，由此能求出t．
（3）由T_n=a₁+$\frac{{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$，$\frac{1}{p}$T_n=a₁+$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{2}+{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$，由此能够证明 $\frac{1+p}{p}$T_n-$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$-6n=a₁-6=-5．

解答 解：（1）a_n+a_n+1=6•5ⁿ，
a_n+1+a_n+2=6•5ⁿ⁺¹，…（2分）
设等比数列（a_n}的公比是q，
则a_n+a_n+1=6•5ⁿ•5，
∴q=5，…（4分）
n=1时，t+5t=30，∴t=5．…（5分）
（2）a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_n+k=6pⁿ，
a_n+1+a_n+2+a_n+3+…+a_n+1+k=6pⁿ⁺¹，…（6分）
数列{a_n}是一个等比数列，所以求出公比为p，…（7分）
∴t（p^n-1+pⁿ+…+p^n+k-1）=6pⁿ，…（8分）
项数为n+k-1-（n-1）十1=k+1项，
当p=1时，t（k+1）=6，
∴t=$\frac{6}{k+1}$，…（9分）
当p≠1，且p＞0时，t $\frac{{p}^{n-1}（1-{p}^{k+1}）}{1-p}$=6pⁿ，
∴t=$\frac{6p（1-p）}{1-{p}^{k+1}}$．．…（10分）
（3）证明：∵n是任意的正整数，当n=1时，$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{p}$=6P¹=6，
依此类推，当n取n-1项时，$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$=$\frac{6{p}^{n}}{{p}^{n-1}}$=6，
∴T_n=a₁+$\frac{{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$，
$\frac{1}{p}$T_n=$\frac{{a}_{1}}{p}$+$\frac{{a}_{2}}{{p}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{3}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$=a₁+$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{2}+{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$，…（12分）
∴（1+$\frac{1}{p}$）T_n=2a₁+$\frac{{a}_{1}+2{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{2}+2{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}+2{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$=a₁+6n-6+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$，…（14分）
∴$\frac{1+p}{p}$T_n-$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$-6n=a₁-6=-5．…（17分）

点评 本题考查数列的综合运用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，有一定的探索性，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．