Question

7．如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB分别相交于点M，N，若$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=y$\overrightarrow{OB}$．
（1）把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；
（2）设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足S_n=f（S_n-1）（n≥2且n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{OM}{PB}=\frac{ON}{BN}$得出方程得出f（x）；
（2）对S_n=f（S_n-1）=$\frac{{S}_{n-1}}{1+{S}_{n-1}}$取倒数，即可得出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}为等差数列，从而求出S_n，再利用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OM}$=x$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{ON}$=y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\frac{ON}{BN}$=x，$\frac{ON}{OB}=y$，∴$\frac{ON}{BN}=\frac{y}{1-y}$，
∵△OMN∽△BPN，
∴$\frac{OM}{PB}=\frac{ON}{BN}$，
∴$\frac{y}{1-y}=x$，
∴y=f（x）=$\frac{x}{1+x}$．
（2）S_n=f（S_n-1）=$\frac{{S}_{n-1}}{1+{S}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1+{S}_{n-1}}{{S}_{n-1}}$，∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1，
∵S₁=a₁=1，∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=n，即S_n=$\frac{1}{n}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$=$\frac{1}{n-{n}^{2}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{n-{n}^{2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查向量共线的条件，考查等差数列的证明，考查求数列的通项，属于中档题．