Question

17．平面直角坐标系中，给出点A（1，0），B（4，0），若直线x+my-1=0存在点P，使得|PA|=2|PB|，则实数m的取值范围是m≥$\sqrt{3}$或m≤-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，设出点P（1-my，y），代入|PA|=2|PB|，化简得（4-m²）y²-8y+16=0，由△≥0，求出实数m的取值范围．

解答 解：设P（1-my，y），
∵|PA|=2|PB|，
∴|PA|²=4|PB|²，
∴（1-my-1）²+y²=4（1-my-4）²+y²，
化简得（m²+1）y²+8my+12=0
则△=64m²-48m²-48≥0，
解得m≥$\sqrt{3}$或m≤-$\sqrt{3}$，
即实数m的取值范围是m≥$\sqrt{3}$或m≤-$\sqrt{3}$．
故答案为：m≥$\sqrt{3}$或m≤-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直线方程的应用问题，也考查了两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．