Question

15．已知函数f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$，若f（x-2）＞f（3），则x的取值范围是（-1，5）．

Answer 1

分析 对函数进行判断其单调性和奇偶性，即可求解f（x-2）＞f（3）x的取值范围．

解答 解：函数f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$，
则f（-x）=1-|-x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$=f（x），
故得f（x）是偶函数．
又∵y=-|x|是减函数，y=$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$也是减函数
∴函数f（x）=1-|x|+$\frac{2}{1+5{x}^{2}}$在定义域内是减函数．
故f（x-2）＞f（3）等价于（x-2）²＜3²，
解得：-1＜x＜5．
∴不等式的解集为{x|-1＜x＜5}．
故答案为：（-1，5）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性判断及其运用能力．属于基础题．