Question

20．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{-x}），x＜0\\ x-2，x≥0\end{array}\right.$，若函数g（x）=|f（x）|-a有四个不同零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则${x_1}{x_2}{a^2}-\frac{{{x_3}+{x_4}}}{2}a+2017$的最小值为2016．

Answer 1

分析 画出函数y=|f（x）|的图象，由题意得出a的取值范围和x₁x₂，x₃+x₄的值，再利用二次函数配方法即可求出最小值．

解答 解：由题意，画出函数y=|f（x）|的图象，如图所示，
又函数g（x）=a-|f（x）|有四个零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
所以0＜a≤2，
且log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，
所以x₁x₂=1，x₃+x₄=4，
则${x_1}{x_2}{a^2}-\frac{{{x_3}+{x_4}}}{2}a+2017$
=a2-2a+2017=（a-1）2+2016，
当a=1时，取得最小值2016．
故答案为：2016．

点评 本题考查了分段函数研究函数的零点的应用问题，也考查了二次函数最值的求法与等价转化的应用问题，是综合性题目．