Question

19．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为两个平面向量，若|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 根据向量减法的三角形法则作出三角形，根据正弦定理求出B，则$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为π-B．

解答 解设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．
∵$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$的夹角为$\frac{π}{6}$，∴A=$\frac{π}{6}$．在△AOB中，由正弦定理得$\frac{OA}{sinB}=\frac{OB}{sinA}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{b}|}{\frac{1}{2}}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinB}$，解得sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴B=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．
∴$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为π-B=$\frac{3π}{4}$或$\frac{π}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量加法的几何意义，正弦定理，向量夹角的计算，属于中档题．