Question

10．己知数列{a_n}中，a₁=2，且n≥2，n∈N^*时，a_n=$\frac{n+2}{n}$a_n-1，求通项a_n．

Answer 1

分析 由题意可知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$，用累乘法即可求出数列的通项公式．

解答 解：∵a_n=$\frac{n+2}{n}$a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+2}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{3}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{6}{4}$，…，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$×$\frac{5}{3}$×$\frac{6}{4}$×…×=$\frac{n+2}{n}$=$\frac{（n+1）（n+2）}{2×3}$，
∵a₁=2，
∴a_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{3}$

点评 本题考查了数列的递推式公式，以及累乘法求数列的通项公式，属于中档题．