Question

16．已知直线y=x+2交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）于A、B两点．
（I）求椭圆C的离心率的取值范围；
（Ⅱ）设M为C上区别于A、B的任意一点，且$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点），λ²+μ²=1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将直线方程代入椭圆方程，利用判别式大于0，可得a的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围；
（Ⅱ）运用向量的坐标运算，确定坐标之间的关系，利用M，A，B在椭圆上，结合韦达定理，化简整理，可得a的方程，解方程可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）将直线y=x+2代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1，可得
（1+a²）x²+4a²x+3a²=0，
由△=16a⁴-4（1+a²）（3a²）＞0，
可得a＞$\sqrt{3}$或a＜-$\sqrt{3}$（舍去），
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{a}$=$\sqrt{1-\frac{1}{{a}^{2}}}$∈（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）；
（Ⅱ）设M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，可得
x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．
又因为点M在椭圆C上，所以有（λx₁+μx₂）²+a²（λy₁+μy₂）²=a²，
整理可得：λ²（x₁²+a²y₁²）+μ²（x₂²+a²y₂²）+2λμ（x₁x₂+a²y₁y₂）=a²．
即为（λ²+μ²）a²+2λμ（x₁x₂+a²y₁y₂）=a²．
由λ²+μ²=1，可得x₁x₂+a²y₁y₂=0，
又x₁+x₂=-$\frac{4{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$，
可得x₁x₂+a²y₁y₂=x₁x₂+a²（x₁+2）（x₂+2）=0，
即有（1+a²）x₁x₂+2a²（x₁+x₂）+4a²=0，
可得（1+a²）•$\frac{3{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$+2a²（-$\frac{4{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$）+4a²=0，
解得a=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．