Question

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB，且sin²A+sin²B=（m²+1）sin²C，则m的值为±2．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，再利用正弦定理求得cosC=$\frac{{c}^{2}}{ab}$，再根据cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$ 求得 a²+b²=3c²．结合sin²A+sin²B=（m²+1）sin²C，可得m的值．

解答 解：在△ABC中，若tanAtanC+tanBtanC=tanAtanB，
即 tanC（tanA+tanB）=tanAtanB，即$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$，
即 $\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，即$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
∴sin²C=cosC•sinAsinB，利用正弦定理可得c²=ab•cosC，cosC=$\frac{{c}^{2}}{ab}$．
再根据cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，可得 $\frac{{c}^{2}}{ab}$=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$，∴a²+b²=3c²．
再根据 sin²A+sin²B=（m²+1）sin²C，可得a²+b²=（m²+1）c²．
∴m²+1=3，∴m=±$\sqrt{2}$，
故答案为：±$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．