Question

【题目】设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.

(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；

(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．

Answer 1

【答案】（1），（2），

【解析】

试题（1）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S1为直线OP与曲线y=x2

当x∈（0，t）时所围面积，所以，S1=∫0t（tx﹣x2）dx，S2为直线OP与曲线y=x2当x∈（t，2）时所围面积，所以，

S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根据S1=S2就可求出t值．

（Ⅱ）由（2）可求当S1+S2，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S1+S2有最小值．

试题解析：

（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），

直线OP的方程为y=tx

S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，

因为S1=S2，，所以t=，点P的坐标为

（2）S=S1+S2==

S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=

因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0

所以，当t=时，Smin=，P点的坐标为．