Question

【题目】

如图，已知是以的直角三角形铁皮，米，分别是边上不与端点重合的动点，且.现将铁皮沿折起至的位置，使得平面平面，连接，如图所示.现要制作一个四棱锥的封闭容器，其中铁皮和直角梯形铁皮分别是这个封闭容器的一个侧面和底面，其他三个侧面用相同材料的铁皮无缝焊接密封而成（假设制作过程中不浪费材料，且铁皮厚度忽略不计）．

（1）若为边的中点，求制作三个新增侧面的铁皮面积是多少平方米？

（2）求这个封闭容器的最大体积．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

（1）由于，且，则，即，

又平面平面，且平面平面，所以平面，

易得，又为边的中点，

则米，米，

于是得米，米，米，

取的中点为，则，且米，

则（平方米），（平方米），（平方米），

故制作三个新增侧面的铁皮面积是平方米．

（2）依题意，设米，则米，且．

由，知与相似，则，得米．

由（1）知，底面，

则四棱锥的体积（），

则，

易知在上单调递增，在上单调递减，则立方米．

故这个封闭容器的最大体积是立方米．