Question

【题目】已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆方程为，过圆上任意一点作圆的切线，切线与椭圆交于，两点，为坐标原点，设为的中点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意，解方程组即可得解；

（2）当切线斜率不存在时，易得；当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx+m，点，点，联立方程得， ，由切线的性质得m2＝2（1+k2），得到关于k的表达式，当时，，利用基本不等式即可得解.

（1）椭圆过点，且离心率为，

，解得，

椭圆的方程为.

（2）由题得圆的圆心为，半径为，

当切线斜率不存在时，切点即为，此时；

当切线斜率存在时，设切线方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣6＝0，

∴，，

∴∴Q（，），

∵直线AB 与圆O相切，∴，即m2＝2（1+k2），

∴，

当时，；

当时，，

，当且仅当时等号成立，.

综上，的取值范围为.