Question

【题目】古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四个四面体数，（已知）

观察上图，由此得出第5个四面体数为______（用数字作答）；第个四面体数为______.

Answer 1

【答案】35

【解析】

通过观察图形，先将图形的规律转化为数字规律,即为找到如1,4,10,20,……的数列的第项,通过观察发现,相邻的数字差分别是3,6,10,……,即第项应为,那么就把问题转化为求数列的和,为1,3,6,10,……,根据这些数字可以发现,, ,……, ,利用累加法可以得到,再利用题目所给已知,求出前项和,即为第个四面体数,当时,即为第5个四面体数.

由题,

第一个四面体数为1；

第二个四面体数为；

第三个四面体数为；

第四个四面体数为

……

由此可归纳,第个四面体数为

即为

设该式中的每个数从左至右的排列为数列,即为：1,3,6,10,……

得到递推关系为,,…,,相加后得

,故数列的和

当时,

故答案为：35；