Question

某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为米，钢筋网的总长度为米．

（1）列出与的函数关系式，并写出其定义域；
（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？
（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？

Answer 1

（1）
（2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小.
（3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小

解析试题分析：（1）根据矩形的面积求出解析式，注意函数的定义域
（2）利用基本不等式求解，注意等号成立的条件
（3）利用函数的单调性求解（导数或单调性定义）
试题解析：（1）矩形的宽为：米

定义域为
注：定义域为不扣分
（2） 
当且仅当 即时取等号，此时宽为：米
所以，长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小．
（3）法一：，

当时，
 在上是单调递减函数
当时，，此时，长为25米，宽为米
所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．
法二：设，，
则   
，
，
在上是单调递减函数
当时，
此时，长为25米，宽为米
所以，长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小．
考点：基本不等式的应用，函数的单调性,最值