Question

15．为迎接2016年春节的到来，某公司制作了猴年吉祥物，该吉祥物每个成本为6元，每个售价为x（6＜x＜11）元，预计该产品年销售量为m万个，已知m与售价x的关系满足：m=68-k（x-5）²+x，且当售价为10元时，年销售量为28万个．
（1）求该吉祥物年销售利润y关于售价x的函数关系式；
（2）求售价为多少时，该吉祥物的年利润最大，并求出最大年利润．

Answer 1

分析 （1）易知68-k（10-5）²+10=28，从而解得k=2；从而化简y=-2x³+33x²-108x-108（6＜x＜11）；
（2）求导y′=-6（x-2）（x-9），从而判断函数的单调性，从而求最值．

解答 解：（1）∵m=68-k（x-5）²+x，
∴68-k（10-5）²+10=28，
解得，k=2；
∴m=68-2（x-5）²+x=-2x²+21x+18．
∴y=m（x-6）=（-2x²+21x+18）（x-6）
=-2x³+33x²-108x-108（6＜x＜11），
（2）由（1）知，y′=-6x²+66x-108=-6（x-2）（x-9），
令y′＞0解得，6＜x＜9；令y′＜0解得，9＜x＜11；
故y=-2x³+33x²-108x-108在（6，9）上单调递增，在（9，11）上单调递减；
故x=9时，年利润最大，最大为135万元．
答：售价为9元时，该吉祥物年利润最大，且最大年利润为135万元．

点评 本题考查了导数的综合应用及导数在实际问题中的应用．