Question

5．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作直线l交椭圆于A，B两点，求证：$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$为定值．

Answer 1

分析 当直线l的斜率不存在时，求得$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{2a}{{b}^{2}}$；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+c），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系求出A，B两点横坐标的和与积，结合焦半径公式证明$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{2a}{{b}^{2}}$得答案．

解答 证明：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-c，
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{2a}{{b}^{2}}$；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+c），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y得，（b²+a²k²）x²+2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$=$\frac{1}{a+e{x}_{1}}+\frac{1}{a+e{x}_{2}}$=$\frac{2a+e（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}+ae（{x}_{1}+{x}_{2}）+{e}^{2}{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2a+\frac{c}{a}•\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{{a}^{2}+c•\frac{-2{a}^{2}{k}^{2}c}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{2a{b}^{2}（1+{k}^{2}）}{{b}^{4}（1+{k}^{2}）}=\frac{2a}{{b}^{2}}$．
综上，$\frac{1}{|A{F}_{1}|}$+$\frac{1}{|B{F}_{1}|}$为定值$\frac{2a}{{b}^{2}}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦半径公式的应用考查计算能力，是中档题．