Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4，且过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过的直线l交椭圆C于两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q（Q不与重合）.设的外心为G，求证为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据长轴及椭圆过点即可求出；

（2）由题意设直线为，联立椭圆方程可求，求出外接圆圆心，计算，化简即可证明为定值.

（1）由题意知，

将P点坐标代入椭圆方程得，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，

代入椭圆方程得.

设，则，

所以的中点坐标为，

所以.

因为G是的外心，所以G是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，

的垂直平分线方程为，

令，得，即，所以，

所以，所以为定值，定值为4.