【题目】将平面上每个点染为种颜色之一,同时满足:
(1)每种颜色的点都有无穷多个,且不全在同一条直线上;
(2)至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.
求的最小值,使得存在互不同色的四个点共圆.
【答案】5
【解析】
由已知.
若,在平面上取一定圆
及上面三点
、
、
,将弧
(含点
不含
)、弧
(含点
不含
)、弧
(含点
不含
)分别染为1、2、3色,平面上其他点染为4色,则满足题意且不存在四个互不同色的点共圆.
所以,.
当时,假设不存在四个互不同色的点共圆.由条件(2)知,存在直线
上恰有两种颜色的点(设
上仅有颜色1、2的点),再由条件(1)知,存在颜色分别为3、4、5的点
、
、
不共线,设过
、
、
的圆为
(如图).
若与
有公共点,则存在四个互不同色的点共圆,矛盾.
若与
相离,则过点
作
的垂线与
交于点
.
设的颜色为1,垂线与
交于点
、
,如图3.
设的颜色为3.考虑
上颜色为2的点
,
与
交于点
.
因为,所以,
、
、
、
四点共圆.则
只能为3色.
又、
必有一点不同于
(设为
),
与
交于点
.
因为,所以,
、
、
、
四点共圆.则
只能为1色.
故.
从而,、
、
、
四点共圆,且互不同色,矛盾.
所以,当时,存在四个互不同色的点共圆.
因此,的最小值是5.
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【题目】已知双曲线:
的左、右焦点分别为
,
为坐标原点,
是双曲线上在第一象限内的点,直线
分别交双曲线
左、右支于另一点
,
,且
,则双曲线
的离心率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】农历戊戌年即将结束,为了迎接新年,小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡,设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入,则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为___
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【题目】2020年1月10日,引发新冠肺炎疫情的病毒基因序列公布后,科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程,不是一朝一夕能完成的,其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验,检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是:每天接种一次,3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为
,假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.
(1)求一个接种周期内出现抗体次数的分布列;
(2)已知每天接种一次花费100元,现有以下两种试验方案:
①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验,进行下一接种周期,试验持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为元;
②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体,该周期结束后终止试验,已知试验至多持续三个接种周期,设此种试验方式的花费为元.本着节约成本的原则,选择哪种实验方案.
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【题目】平面上有12个点且任意三点不共线.以其中任意一点为始点、另一点为终点作向量且作出所有的向量,其中,三边向量的和为零向量的三角形称为“零三角形”.求以这12个点为顶点的零三角形个数的最大值.
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【题目】已知向量=(1,-3,2),
=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2+
|;
(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥
?(O为原点)
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