Question

16．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$，则$\frac{ab}{{c}^{2}}$的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$可得，$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，通分化简，根据正弦定理及余弦定理在化简，利用基本不等式的性质求解．

解答 解：由$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{tanC}$可得，$\frac{cosA}{sinA}$+$\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
即$\frac{sinBcosA+cosBsinA}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
∴$\frac{sin（B+A）}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，即$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{cosC}{sinC}$，
∴sin²C=sinAsinBcosC．
根据正弦定理及余弦定理可得，c²=ab•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理得a²+b²=3c²，
∴$\frac{ab}{{c}^{2}}$=$\frac{3ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤$\frac{3ab}{2ab}$=$\frac{3}{2}$，当且仅当a=b时等号成立．
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正余弦定理、基本不等式的性质的灵活运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．